Academy
অষ্টম শ্রেণি
গণিত
-১, ২, ৭, ১৪,………

-১, ২, ৭, ১৪,…….... এর বীজগণিতীয় রাশি কোনটি?

Created: 9 months ago | Updated: 9 months ago

Updated: 9 months ago

ক

ক - ২
খ

৩ক - ৪
গ

$ক^{২} - ২$
ঘ

$২ ক^{২} - ৩$

122

ব্যাখ্যাঃ বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত অনুক্রমটি হলো: -১, ২, ৭, ১৪,……

প্রথমে পদগুলোর মধ্যে পার্থক্য নির্ণয় করি:

২ - (-১) = ৩
৭ - ২ = ৫
১৪ - ৭ = ৭

প্রথম পার্থক্যের অনুক্রমটি হলো: ৩, ৫, ৭,……। এটি একটি সমান্তর অনুক্রম।

এবার প্রথম পার্থক্যের অনুক্রমের পার্থক্য নির্ণয় করি:

৫ - ৩ = ২
৭ - ৫ = ২

দ্বিতীয় পার্থক্যটি স্থির (২)। যখন দ্বিতীয় পার্থক্য স্থির হয়, তখন বীজগণিতীয় রাশিটি একটি দ্বিঘাত রাশি (কোয়াড্রেটিক এক্সপ্রেশন) হয়, যার সাধারণ রূপ হলো $Ak^2 + Bk + C$।

এখানে, আমরা নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করে A, B, C এর মান বের করতে পারি:

$2A = \text{দ্বিতীয় পার্থক্য}$
$3A + B = \text{প্রথম পার্থক্যের প্রথম পদ}$
$A + B + C = \text{অনুক্রমের প্রথম পদ}$

মান বসিয়ে পাই:

$2A = 2 \implies A = 1$
$3(1) + B = 3 \implies 3 + B = 3 \implies B = 0$
$1 + 0 + C = -1 \implies 1 + C = -1 \implies C = -1 - 1 \implies C = -2$

সুতরাং, বীজগণিতীয় রাশিটি হলো:

$Ak^2 + Bk + C = 1 \cdot k^2 + 0 \cdot k - 2 = k^2 - 2$

এখন, এই রাশিটি ব্যবহার করে অনুক্রমের পদগুলো যাচাই করি:

যখন $k = 1$, $1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$
যখন $k = 2$, $2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$
যখন $k = 3$, $3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$
যখন $k = 4$, $4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$

অনুক্রমের পদগুলো রাশিটির সাথে মিলে যায়।

💡 শর্টকাট টেকনিক:

প্রদত্ত বিকল্পগুলো থেকে সঠিক উত্তরটি বেছে নেওয়ার জন্য আমরা প্রতিটি বিকল্পে $k$ এর মান বসিয়ে যাচাই করতে পারি। $k$ হলো পদ সংখ্যা (১, ২, ৩, ৪...)।

প্রদত্ত অনুক্রম: -১, ২, ৭, ১৪,......

৩ নং অপশনটি যাচাই করি: $ক^{২} - ২$ ($k^2 - 2$)

$k = 1$ হলে, $1^2 - 2 = 1 - 2 = -1$ (প্রথম পদ মিলে যায়)
$k = 2$ হলে, $2^2 - 2 = 4 - 2 = 2$ (দ্বিতীয় পদ মিলে যায়)
$k = 3$ হলে, $3^2 - 2 = 9 - 2 = 7$ (তৃতীয় পদ মিলে যায়)
$k = 4$ হলে, $4^2 - 2 = 16 - 2 = 14$ (চতুর্থ পদ মিলে যায়)

যেহেতু এই রাশিটি অনুক্রমের সকল পদ সঠিকভাবে তৈরি করে, তাই এটিই সঠিক বীজগণিতীয় রাশি।

Satt AI

2 weeks ago

MCQ: 29 CQ: 8

Practice

জ্যামিতিক প্যাটার্ন

চিত্রের বর্ণগুলো সমান দৈর্ঘ্যের রেখাংশের দ্বারা তৈরি করা হয়। এ রকম কয়েকটি অঙ্কের চিত্র লক্ষ করি :

চিত্রগুলো তৈরি করতে কতগুলো রেখাংশ প্রয়োজন এর প্যাটার্ন লক্ষ করি। 'ক' সংখ্যক অঙ্ক তৈরির জন্য রেখাংশের সংখ্যা প্রতি প্যাটার্নের শেষে বীজগণিতীয় রাশির সাহায্যে দেখানো হয়েছে।

ক্রমিক নং	রাশি	পদ
ক্রমিক নং	রাশি	১ম	২য়	৩য়	৪র্থ	৫ম	১০ম	১০০তম
১	২ক + ১	৩	৫	৭	৯	১১	২১	২০১
২	৩ক + ১	৪	৭	১০	১৩	১৬	৩১	৩০১
৩	$ক^{২ + ১}$	০	৩	৮	১৫	২৪	৯৯	৯৯৯৯
৪	৪ক + ক	৭	১১	১৫	১৯	২৩	৪৩	৪০৩

উদাহরণ ৪।

উপরের জ্যামিতিক চিত্রগুলো একটি প্যাটার্ন তৈরি করছে যা সমান দৈর্ঘ্যের কাঠি দিয়ে তৈরি।
ক. প্যাটার্নে চতুর্থ চিত্রটি তৈরি করে কাঠির সংখ্যা নির্ণয় কর।
খ. প্যাটার্নটি কোন বীজগণিতীয় রাশিকে সমর্থন করে তা যুক্তিসহ উপস্থাপন কর। গ. প্যাটার্নটির প্রথম পঞ্চাশটি চিত্র তৈরি করতে মোট কতটি কাঠি দরকার হবে তা নির্ণয় কর।

সমাধান :

(ক) উদ্দীপকের আলোকে চতুর্থ প্যাটার্নটি নিম্নরূপ

প্যাটার্নটিতে সমান দৈর্ঘ্যের কাঠির সংখ্যা ২১

(খ) ১ম চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ৬
= ৫ + ১
= ৫ X 1 + 1
২য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ১১
= ১০ + ১
= ৫ X ২ + ১
৩য় চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ১৬
= ১৫ + ১
= ৫ X ৩ + ১
৪র্থ চিত্রে কাঠির সংখ্যা = ২১
= ২০+১
= ৫ X ৪ + ১
একই ভাবে ক-তম চিত্রে, কাঠির সংখ্যা = ৫ X ক + ১
= ৫ক + ১
.:. প্যাটার্নগুলো (৫ক+১) বীজগাণিতিক রাশি দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

(গ) ‘খ’ অংশ থেকে পাই
প্যাটার্নটির বীজগাণিতিক রাশি ৫ক+১
.. ৫০ তম প্যাটার্নে প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা = ৫ X ৫০ + ১
= ২৫০ + ১
= ২৫১
এখন, প্যাটার্নগুলোর কাঠির সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = ৬ + ১১ + ১৬ + ২১ +...+ ২৫১
এখানে, ১ম পদ = ৬
শেষ পদ = ২৫১
পদ সংখ্যা = ৫০

= ২৭৫ X ২৫

= ৬৪২৫

.:. ৫০টি প্যাটার্ন তৈরিতে প্রয়োজনীয় কাঠির সংখ্যা ৬৪২৫

-১, ২, ৭, ১৪,…….... এর বীজগণিতীয় রাশি কোনটি?

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion